Sturm-Liouvilleův problém nebo problém vlastních čísel, v matematice, určitá třída parciálních diferenciálních rovnic (PDE), na něž se vztahují zvláštní omezení, známá jako mezní hodnoty, na řešení. Takové rovnice jsou běžné jak v klasické fyzice (např. Tepelné vedení), tak v kvantové mechanice (např. Schrödingerova rovnice) k popisu procesů, kde je některá vnější hodnota (mezní hodnota) udržována konstantní, zatímco systém zájmu přenáší nějakou formu energie.
V polovině třicátých let 20. století francouzští matematici Charles-François Sturm a Joseph Liouville samostatně pracovali na problému vedení tepla kovovou tyčí, přičemž v tomto procesu byly vyvinuty techniky pro řešení velké třídy PDE, z nichž nejjednodušší má podobu [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, kde y je nějaká fyzická veličina (nebo funkce kvantové mechanické vlny) a λ je parametr nebo vlastní hodnota, která omezuje rovnici tak že y splňuje mezní hodnoty v koncových bodech intervalu, v němž se proměnná x pohybuje. Pokud funkce p, q a r splňují vhodné podmínky, rovnice bude mít rodinu řešení, nazývaných vlastní funkce, odpovídající řešením vlastních hodnot.
Pro komplikovanější nehomogenní případ, ve kterém je pravá strana výše uvedené rovnice funkcí, f (x), spíše než nula, lze vlastní hodnoty odpovídající homogenní rovnice porovnat s vlastními hodnotami původní rovnice. Pokud se tyto hodnoty liší, problém bude mít jedinečné řešení. Na druhou stranu, pokud se jedna z těchto vlastních čísel shoduje, problém nebude mít buď žádné řešení, nebo celou rodinu řešení, v závislosti na vlastnostech funkce f (x).
