Hippokrates z Chiosu (fl. C. 460 bc) prokázal, že oblasti ve tvaru měsíce mezi kruhovými oblouky, známé jako luny, lze vyjádřit přesně jako přímočarou oblast nebo kvadraturu. V následujícím jednoduchém případě mají dvě duny vyvinuté kolem stran pravoúhlého trojúhelníku společnou plochu rovnou oblasti trojúhelníku.
-
Počínaje pravým ΔABC, nakreslete kružnici, jejíž průměr se shoduje s AB (strana c), propona. Protože jakýkoli pravoúhlý trojúhelník nakreslený průměrem kružnice musí být vepsán do kruhu, musí být na kruhu C.
-
Nakreslete půlkruhy s průměry AC (strana b) a BC (strana a) jako na obrázku.
-
Označte výsledné luny L 1 a L 2 a výsledné segmenty S 1 a S 2, jak je znázorněno na obrázku.
-
Nyní součet lunes (L 1 a L 2) se musí rovnat součtu půlkruhu (L 1 + S 1 a L 2 + S 2) je minus dva segmenty (S, obsahující 1 a S 2). Tak, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (/ 2) 2 - S 2 (od plocha kruhu je n krát čtverec poloměru).
-
Součet segmentů (S 1 a S 2) se rovná oblasti půlkruhu na základě AB mínus oblast trojúhelníku. Tak, S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Dosazením výraz v kroku 5 do kroku 4 a vytknutím běžných podmínek, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - C 2) + ΔABC.
-
Protože ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, podle Pythagorovy věty. Tak, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippokratům se podařilo sesadit několik druhů lun, některé na obloukech větších a menších než půlkruhy, a naznačil, i když možná nevěřil, že by jeho metoda mohla ohraničit celý kruh. Na konci klasického věku Boethius (c. Ad 470–524), jehož latinské překlady úryvků z Euklidu udržovaly geometrii blikání po půl tisíciletí, zmínil, že někdo dosáhl kvadratury kruhu. Zda neznámý génius použil lunes nebo jinou metodu, není známo, protože pro nedostatek prostoru Boethius nedal demonstraci. Přenesl tedy výzvu kvadratury kruhu spolu s fragmenty geometrie, které byly zjevně užitečné při jeho provádění. Evropané drželi tento nešťastný úkol dobře v osvícení. Nakonec, v roce 1775, Pařížská akademie věd, naplněná úkolem spatřit fallaci v mnoha řešeních, která jí byla předložena, odmítla mít co do činění s hranatými kruhy.
