Diophantus, jménem Diophantus z Alexandrie, (vzkvétal cca 250), řecký matematik, známý pro svou práci v algebře.
teorie čísel: Diophantus
Pozdějších řeckých matematiků stojí za zmínku zejména Diophantus z Alexandrie (vzkvétal cca 250), autor
Co je známo o životě Diophantuse, je okolnosti. Z označení „Alexandrie“ se zdá, že pracoval v hlavním vědeckém centru antického řeckého světa; a protože není zmíněn před 4. stoletím, zdá se pravděpodobné, že vzkvétal během 3. století. Aritmetický epigram z Anthologia Graeca pozdního starověku, jehož cílem bylo navrátit některé mezníky jeho života (manželství ve 33 letech, narození jeho syna v 38 letech, smrt jeho syna čtyři roky před jeho vlastním v 84 letech), může být dobře vymyšlen. Pod jeho jménem k nám přišly dvě práce, obě neúplná. První je malý fragment na polygonálních číslech (číslo je polygonální, pokud lze stejný počet bodů uspořádat do podoby pravidelného mnohoúhelníku). Druhé, velké a nesmírně vlivné pojednání, na kterém spočívá veškerá starověká a moderní sláva Diophantuse, je jeho aritmetika. Jeho historický význam je dvojí: je to první známé dílo, které zaměstnává algebru v moderním stylu, a inspirovalo znovuzrození teorie čísel.
Aritmetika začíná úvodem určeným Dionýsiovi - pravděpodobně sv. Dionýsiu v Alexandrii. Po několika obecnostech o číslech vysvětluje Diophantus svou symboliku - používá symboly pro neznámé (odpovídající našemu x) a jeho mocnosti, pozitivní nebo negativní, jakož i pro některé aritmetické operace - většina z těchto symbolů jsou jasně znakové zkratky. Toto je první a jediný výskyt algebraické symboliky před 15. stoletím. Po učení násobení pravomocí neznámého, Diophantus vysvětluje množení pozitivních a negativních termínů a poté, jak redukovat rovnici na jedinou pouze s kladnými termíny (standardní forma upřednostňovaná ve starověku). S těmito předběžnými opatřeními z cesty Diophantus přistupuje k problémům. Aritmetika je v podstatě souborem problémů s řešením, asi 260 v části stále existuje.
V úvodu je také uvedeno, že práce je rozdělena do 13 knih. Šest z těchto knih bylo v Evropě známo na konci 15. století, přenášeny v řečtině byzantskými učenci a číslovány od I do VI; další čtyři knihy byly objeveny v roce 1968 v arabském překladu z 9. století Qusṭā ibn Lūqā. Arabský text však postrádá matematický symbolismus a zdá se, že je založen na pozdějším řeckém komentáři - snad v Hypatia (c. 370–415) - který zředil Diophantovu expozici. Nyní víme, že číslování řeckých knih musí být upraveno: aritmetika se tedy skládá z knih I až III v řečtině, knih IV až VII v arabštině a pravděpodobně knih VIII až X v řečtině (bývalé řecké knihy IV až VI)). Další přečíslování je nepravděpodobné; je docela jisté, že Byzantinci znali pouze šest knih, které předali, a Arabové ne více než Knihy I až VII v komentované verzi.
Problémy knihy I nejsou charakteristické, jsou to většinou jednoduché problémy používané k ilustraci algebraického zúčtování. Charakteristické rysy Diophantových problémů se objevují v pozdějších knihách: jsou neurčité (mají více než jedno řešení), jsou druhého stupně nebo jsou redukovatelné na druhý stupeň (nejvyšší moc za proměnných podmínek je 2, tj. X 2) a končí určením kladné racionální hodnoty pro neznámého, která z daného algebraického výrazu učiní numerický čtverec nebo někdy krychli. (V celé své knize používá Diophantus „číslo“ k označení toho, co se nyní nazývá pozitivní, racionální čísla; čtvercové číslo je tedy čtvercem nějakého pozitivního, racionálního čísla.) Knihy II a III také učí obecné metody. Ve třech problémech knihy II je vysvětleno, jak reprezentovat: (1) libovolné dané čtvercové číslo jako součet čtverců dvou racionálních čísel; (2) libovolné dané druhé číslo, které je součtem dvou známých čtverců, jako součet dvou dalších čtverců; a (3) jakékoli dané racionální číslo jako rozdíl dvou čtverců. Zatímco první a třetí problém jsou uvedeny obecně, předpokládaná znalost jednoho řešení ve druhém problému naznačuje, že ne každé racionální číslo je součet dvou čtverců. Diophantus později dává podmínku pro celé číslo: dané číslo nesmí obsahovat žádný hlavní faktor tvaru 4n + 3 zvýšený na lichý výkon, kde n je nezáporné celé číslo. Takové příklady motivovaly znovuzrození teorie čísel. Přestože je Diophantus obvykle spokojen, aby získal jedno řešení problému, občas zmiňuje v problémech, že existuje nekonečné množství řešení.
V knihách IV až VII rozšiřuje Diophantus základní metody, jako jsou metody uvedené výše, na problémy vyšších stupňů, které lze redukovat na binomickou rovnici prvního nebo druhého stupně. Předmluva k těmto knihám uvádí, že jejich účelem je poskytnout čtenáři „zkušenosti a dovednosti“. Zatímco tento nedávný objev nezvyšuje znalosti Diophantovy matematiky, mění to hodnocení jeho pedagogických schopností. Knihy VIII a IX (pravděpodobně řecké knihy IV a V) řeší složitější problémy, i když základní metody zůstávají stejné. Například jeden problém zahrnuje rozložení daného celého čísla na součet dvou čtverců, které jsou libovolně blízko sebe. Podobný problém zahrnuje rozklad daného celého čísla na součet tří čtverců; v tom Diophantus vylučuje nemožný případ celých čísel formuláře 8n + 7 (opět n je nezáporné celé číslo). Kniha X (pravděpodobně řecká kniha VI) se zabývá pravoúhlými trojúhelníky s racionálními stranami a podléhá různým dalším podmínkám.
Obsah tří chybějících knih o aritmetice lze odhadnout od úvodu, kdy poté, co řekl, že snížení problému by mělo „pokud možno“ skončit binomickou rovnicí, Diophantus dodává, že „případ později“ projednává případ trinomiální rovnice - příslib, který nebyl z velké části splněn.
Přestože měl k dispozici omezené algebraické nástroje, Diophantovi se podařilo vyřešit celou řadu problémů a arabští matematici, jako je al-Karajī (c. 980–1030), dokázali své metody uplatnit. Nejslavnějším rozšířením Diophantova díla byl Pierre de Fermat (1601–65), zakladatel moderní teorie čísel. V okrajích jeho kopie Arithmetica, Fermat psal různé poznámky, navrhovat nová řešení, opravy a zevšeobecňování Diophantus metod, stejně jako některé dohady takový jako Fermat je poslední věta, který okupoval matematiky pro příští generace. Neurčité rovnice omezené na integrální řešení se staly známými, byť nevhodně, jako Diophantinové rovnice.
