Historie analýzy
Řekové se setkávají s nepřetržitými velikostmi
Analýza se skládá z těch částí matematiky, ve kterých je důležitá neustálá změna. Patří sem studium pohybu a geometrie hladkých křivek a povrchů - zejména výpočet tečen, ploch a objemů. Starověcí řeckí matematici dosáhli velkého pokroku v teorii i v praxi analýzy. Teorie byla přinucena asi 500 bce pythagorovským objevem iracionálních veličin a asi 450 bce Zenoovými paradoxy pohybu.
Pythagorejci a iracionální čísla
Pythagorejci zpočátku věřili, že všechny věci lze měřit pomocí diskrétních přirozených čísel (1, 2, 3,
) a jejich poměry (obyčejné zlomky nebo racionální čísla). Tato víra byla otřesena objevem, že úhlopříčka jednotkového čtverce (tj. Čtverce, jehož strany mají délku 1), nelze vyjádřit jako racionální číslo. Tento objev byl způsoben jejich vlastní pythagorovskou větou, která stanovila, že čtverec na přepážce pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců na dalších dvou stranách - v moderním zápisu c 2 = a 2 + b 2. V jednotkovém čtverci je úhlopříčka předponou pravoúhlého trojúhelníku se stranami a = b = 1; proto, jeho míra je druhá odmocnina √2 - iracionální číslo. Proti svým vlastním záměrům Pythagorejci tak ukázali, že racionální čísla nestačí k měření ani jednoduchých geometrických objektů. (Viz Sidebar: Incommensurables.) Jejich reakcí bylo vytvořit aritmetiku úseček, jak je uvedeno v knize II Euclidových prvků (c. 300 bce), která zahrnovala geometrickou interpretaci racionálních čísel. Pro Řeky byly segmenty čar obecnější než čísla, protože obsahovaly spojité i diskrétní velikosti.
Druhá odmocnina √2 může být ve vztahu k racionálním číslům pouze nekonečným procesem. Uvědomil si to Euclid, který studoval aritmetiku racionálních čísel i liniových segmentů. Jeho slavný euklidovský algoritmus, když byl použit na pár přirozených čísel, vede v konečném počtu kroků k jejich největšímu společnému děliteli. Pokud se však použije na dvojici segmentů čáry s iracionálním poměrem, jako je druhá odmocnina √2 a 1, nedojde k ukončení. Euclid dokonce použil tuto nonterminační vlastnost jako kritérium pro iracionalitu. Iracionalita tak zpochybnila řecké pojetí čísla tím, že je přinutila vypořádat se s nekonečnými procesy.
Zenoovy paradoxy a koncept pohybu
Stejně jako druhá odmocnina √2 byla výzvou pro řecké pojetí čísla, Zenoovy paradoxy byly výzvou pro jejich pojetí pohybu. Ve své fyzice (c. 350 bce) citoval Aristoteles Zeno jako:
Neexistuje žádný pohyb, protože to, co se pohybuje, musí dorazit doprostřed [kurzu], než dorazí na konec.
Zenoovy argumenty jsou známy pouze prostřednictvím Aristotela, který je citoval hlavně proto, aby je vyvrátil. Zeno podle všeho znamenalo, že pokud se chceme dostat kamkoli, musí nejprve jít na půl cesty a před touto čtvrtinou cesty a před touto osminou cesty atd. Protože tento proces o poloviční vzdálenosti by pokračoval do nekonečna (koncept, který Řekové nepřijali, jak je to možné), Zeno tvrdil, že „prokáže“, že realita sestává z neměnné bytosti. Přesto, přes jejich nenávist k nekonečnu, Řekové shledali, že tento koncept byl nepostradatelný v matematice nepřetržitých velikostí. Takže uvažovali o nekonečnu co nejjemněji, v logickém rámci zvaném teorie proporcí a použití metody vyčerpání.
Teorie proporcí byla vytvořena Eudoxem asi 350 BCE a zachována v knize V Euclidových prvků. Stanovil přesný vztah mezi racionálními veličinami a libovolnými veličinami definováním dvou veličin, aby byly stejné, pokud by racionální veličiny menší než byly stejné. Jinými slovy, dvě velikosti se lišily, pouze pokud mezi nimi existovala racionální velikost. Tato definice sloužila matematikům po dvě tisíciletí a vydláždila cestu pro aritmetizaci analýzy v 19. století, ve kterém byla libovolná čísla přesně definována z hlediska racionálních čísel. Teorie proporcí byla prvním přísným pojetím konceptu limitů, myšlenkou, která je jádrem moderní analýzy. V moderních termínech Eudoxusova teorie definovala libovolné velikosti jako limity racionálních velikostí a základní věty o součtu, rozdílu a součtu hodnot byly ekvivalentní větám o součtu, rozdílu a součtu limitů.
