Eudoxus z Cnidusu (c. 400–350 bce) má tu čest být prvním, kdo ukázal, že plocha kruhu je úměrná čtverci jeho poloměru. V dnešním algebraickém zápisu je tato proporcionalita vyjádřena známým vzorcem A = πr 2. Přesto je konstanta proporcionality π navzdory své důvěrnosti velmi tajemná a snaha o její pochopení a nalezení její přesné hodnoty zaměstnávala matematiky tisíce let. Století po Eudoxus, Archimedův objevil první dobrou aproximaci n: 3 10 / 71 <π <3 1 / 7. Toho dosáhl aproximací kruhu s 96-stranným mnohoúhelníkem (viz animace). Ještě lepší aproximace byly nalezeny pomocí polygonů s více stranami, ale ty sloužily pouze k prohloubení tajemství, protože nebylo možné dosáhnout žádné přesné hodnoty a v posloupnosti aproximací nebyl pozorován žádný vzorec.
Ohromující roztok tajemství byla objevena indickými matematiky asi 1500 CE: π mohou být reprezentovány nekonečna, ale překvapivě jednoduché, série π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯.They objevil to jako zvláštní případ série pro inverzní funkce tangenty: tan -1 (x) = x - x 3 / 3 + x 5 / 5 - x 7 / 7 + ⋯.
Jednotlivé objevy těchto výsledků nejsou jisté; někteří učenci je připisují Nilakantha Somayaji, jiní Madhavě. Indické důkazy jsou strukturálně podobné důkazům, které později v Evropě objevili James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz a Jakob Bernoulli. Hlavní rozdíl spočívá v tom, že tam, kde Evropané měli výhodu základní věty o počtu, museli Indové najít meze součtů formy
Před Gregoryovým znovuobjevením inverzní tangentní řady kolem roku 1670 byly v Evropě objeveny další vzorce pro π. V roce 1655 John Wallis objevil nekonečné produkt π / 4 = 2 / 3 ∙ 4 / 3 ∙ 4 / 5 ∙ 6 / 5 ∙ 6 / 7 ⋯, a jeho kolega William Brouncker transformována to do nekonečné řetězový zlomek
A konečně, v Leonharda Eulerovy Úvod do analýzy na nekonečno (1748), série π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯ je transformován do Brouncker přetrvávající frakce, což ukazuje, že všechny tři vzorce jsou v nějaký smysl stejný.
Brounckerova nekonečná nepřetržitá frakce je zvláště významná, protože naznačuje, že π není obyčejná frakce - jinými slovy, že π je iracionální. Přesně tato myšlenka byla použita v prvním důkazu, že π je iracionální, daný Johannem Lambertem v roce 1767.
