Metalogický

Logické a metalogické

V jednom smyslu má být logika identifikována pomocí predikátového počtu prvního řádu, počtu, ve kterém jsou proměnné omezeny na jednotlivce v pevné doméně - ačkoli to může také zahrnovat logiku identity, symbolizovanou „=“, která bere běžné vlastnosti identity jako součást logiky. V tomto smyslu Gottlob Frege dosáhl formálního počtu logiky již v roce 1879. Někdy je logika konstruována i jako zahrnutí také predikátových kalkulů vyššího řádu, které připouštějí proměnné vyšších typů, jako jsou například ty, které sahají přes predikáty (nebo třídy a vztahy)) a tak dále. Ale pak je to malý krok k zařazení teorie množin a ve skutečnosti je axiomatická teorie množin často považována za součást logiky. Pro účely tohoto článku je však vhodnější omezit diskusi na logiku v prvním smyslu.

Je těžké oddělit významné nálezy v logice od těch v metalogickém, protože všechny věty, které jsou pro logisty zajímavé, jsou o logice, a proto patří k metalogickým. Jestliže p je matematická věta - zejména jedna o logice - a P je spojením matematických axiomů použitých pro prokázání p, pak se každé p může proměnit v teorém, buď „ne-P nebo p“, v logice. Matematika se však nedělá tím, že výslovně provádí všechny kroky, jak je uvedeno v logice; výběr a intuitivní pochopení axiomů je důležité jak pro matematiku, tak pro metamatematiku. Skutečné odvození v logice, jako například ty, které provedli těsně před první světovou válkou Alfred North Whitehead a Bertrand Russell, jsou pro logisty jen velmi nepatrné. Proto by se mohlo zdát nadbytečné zavést pojem metalogický. V současné klasifikaci je však metalogický pojímán tak, že se zabývá nejen poznatky o logických kalkulech, ale také studiem formálních systémů a formálních jazyků obecně.

Obyčejný formální systém se liší od logického počtu tím, že systém má obvykle zamýšlenou interpretaci, zatímco logický počet úmyslně ponechává možné interpretace otevřené. Jeden tedy hovoří například o pravdě nebo nepravdivosti vět ve formálním systému, ale s ohledem na logický počet se mluví o platnosti (tj. Platí ve všech interpretacích nebo ve všech možných světech) a o uspokojivosti (nebo mít model - tj. být pravdivý v nějaké konkrétní interpretaci). Proto má úplnost logického počtu zcela odlišný význam od významu formálního systému: logický počet umožňuje mnoho vět tak, že ani věta, ani její negace není věta, protože v některých interpretacích je pravdivá a v jiných nepravdivá, a vyžaduje pouze, aby každá platná věta byla věta.