Kurt Gödel, Gödel také hláskoval Goedela, (narozený 28. dubna 1906, Brünn, Rakousko-Uhersko [nyní Brno, Česká republika] - zemřel 14. ledna 1978, Princeton, NJ, USA), rakouského rodáka, logika a filosof, který získal to, co může být nejdůležitějším matematickým výsledkem 20. století: jeho slavná věta o neúplnosti, která uvádí, že v jakémkoli axiomatickém matematickém systému existují výroky, které nelze prokázat nebo vyvrátit na základě axiomů v tomto systému; takový systém tedy nemůže být současně úplný a konzistentní. Tento důkaz prokázal Gödele jako jednoho z největších logiků od Aristotela a jeho důsledky jsou i dnes pociťovány a diskutovány.
základy matematiky: Gödel
V Hilbertově programu bylo implikováno naděje, že syntaktický pojem prokazatelnosti zachytí sémantický pojem pravdy. Gödel
Raný život a kariéra
Jako dítě trpěl Gödel několik období špatného zdraví, následoval záchvat ve věku 6 let s revmatickou horečkou, což ho obávalo, že má nějaké zbytkové srdeční problémy. Jeho celoživotní starost o jeho zdraví mohla přispět k jeho eventuální paranoii, která zahrnovala posedlý úklid jídelního nádobí a starosti o čistotu jeho jídla.
Jako německy mluvící Rakušan se Gödel najednou ocitl v nově vznikající zemi Československa, když na konci první světové války v roce 1918 došlo k rozpadu Rakousko-Uherska. O šest let později však odešel studovat do Rakouska, na vídeňské univerzitě, kde v roce 1929 získal doktorát z matematiky. Příští rok nastoupil na fakultu na vídeňské univerzitě.
Během tohoto období byla Vídeň jedním z intelektuálních center světa. Byl to domov slavného vídeňského kruhu, skupiny vědců, matematiků a filozofů, kteří podporovali naturalistický, silně empirický a antimetafyzický pohled známý jako logický pozitivismus. Gödelův disertační poradce, Hans Hahn, byl jedním z vůdců vídeňského kruhu a do skupiny představil svého hvězdného studenta. Gödelovy vlastní filosofické názory se však nemohly lišit od názorů pozitivistů. Předplatil platonismus, teismus a dualismus mysli a těla. Kromě toho byl také poněkud duševně nestabilní a trpěl paranoií - problém, který se s věkem zhoršoval. Jeho kontakt s členy vídeňského kruhu ho tak nechal pociťovat, že 20. století bylo vůči jeho myšlenkám nepřátelské.
Gödelovy věty
Ve své doktorské práci „Über die Vollständigkeit des Logikkalküls“ („O úplnosti matematického počtu“), publikované v mírně zkrácené podobě v roce 1930, Gödel prokázal jeden z nejdůležitějších logických výsledků století - ve skutečnosti po celou dobu - jmenovitě věta o úplnosti, která stanovila, že klasická logika prvního řádu neboli predikátový počet je úplná v tom smyslu, že všechny logické pravdy prvního řádu lze dokázat ve standardních systémech důkazů prvního řádu.
To však nebylo nic ve srovnání s tím, co Gödel publikoval v roce 1931 - jmenovitě věta o neúplnosti: „Über formální unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ („Formálně nerozhodnutelné návrhy Principia Mathematica a souvisejících systémů“). Zhruba řečeno, tato věta prokázala výsledek, že je nemožné použít axiomatickou metodu k vytvoření matematické teorie v kterémkoli odvětví matematiky, která zahrnuje všechny pravdy v tomto odvětví matematiky. (V Anglii Alfred North Whitehead a Bertrand Russell strávili roky takovým programem, který publikovali jako Principia Mathematica ve třech svazcích v letech 1910, 1912 a 1913.) Například je nemožné přijít s axiomatickou matematickou teorií který zachycuje i všechny pravdy o přirozených číslech (0, 1, 2, 3,
). To byl nesmírně důležitý negativní výsledek, protože před rokem 1931 se mnoho matematiků snažilo přesně to udělat - konstruovat axiomové systémy, které lze použít k prokázání všech matematických pravd. Opravdu, několik známých logiků a matematiků (např. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) strávilo na tomto projektu značnou část své kariéry. Bohužel pro ně Gödelova věta zničila celý tento axiomatický výzkumný program.
Mezinárodní hvězdu a přesunout do Spojených států
Po vydání věty o neúplnosti se Gödel stal mezinárodně známou intelektuální postavou. Několikrát odcestoval do Spojených států a intenzivně přednášel na Princetonské univerzitě v New Jersey, kde se setkal s Albertem Einsteinem. To byl začátek blízkého přátelství, které by trvalo do Einsteinovy smrti v roce 1955.
Nicméně, to bylo také během tohoto období že Gödel duševní zdraví začalo zhoršovat se. Trpěl záchvaty deprese a po vraždě Moritze Schlicka, jednoho z vůdců vídeňského kruhu, rozzuřeným studentem utrpěl Gödel nervózní zhroucení. V nadcházejících letech utrpěl několik dalších.
Poté, co nacistické Německo 12. března 1938 anektovalo Rakousko, se Gödel ocitl v poněkud nepříjemné situaci, částečně proto, že měl dlouhou historii úzkých vztahů s různými židovskými členy vídeňského kruhu (byl skutečně napaden na ulicích Vídně) mladými lidmi, kteří si mysleli, že je Žid) a částečně proto, že mu náhle hrozilo, že bude uvězněn v německé armádě. 20. září 1938 se Gödel oženil s Adele Nimbursky (rodená Porkert), a když vypukla druhá světová válka o rok později, uprchl z Evropy se svou ženou, vzal trans-sibiřskou železnici přes Asii a plavil se přes Tichý oceán, a poté pokračoval dalším vlakem napříč Spojenými státy do Princetonu v NJ, kde se s pomocí Einsteina ujal pozice v nově vytvořeném Institutu pro vyšší studia (IAS). Zbytek života strávil prací a vyučováním v IAS, od kterého odešel v roce 1976. Gödel se stal americkým občanem v roce 1948. (Einstein se zúčastnil jeho slyšení, protože Gödelovo chování bylo poněkud nepředvídatelné a Einstein se obával, že Gödel by mohl sabotovat jeho vlastní případ.)
V roce 1940, jen několik měsíců poté, co dorazil do Princetonu, vydal Gödel další klasický matematický článek „Soulad axiomu volby a zobecněné hypotézy kontinua s axiomy teorie teorií“, který prokázal, že axiom volby a kontinuum hypotéza je v souladu se standardními axiomy (jako jsou Zermelo-Fraenkelovy axiomy) teorie množin. Toto prokázalo polovinu dohady Gödel je - jmenovitě že hypotéza kontinua nemohla být dokázána pravdivá nebo nepravdivá ve standardních teoriích množin. Gödelův důkaz ukázal, že v těchto teoriích nemůže být prokázáno, že je nepravdivé. V roce 1963 americký matematik Paul Cohen prokázal, že ani v těchto teoriích nelze prokázat pravdu, což ospravedlňuje Gödelovu dohadu.
V roce 1949 Gödel také významně přispěl k fyzice, což ukazuje, že Einsteinova teorie obecné relativity umožňuje možnost cestování časem.
