Euclidův větrný mlýn

Pythagorova věta uvádí, že součet čtverců na končetinách pravoúhlého trojúhelníku je roven čtverci na přepážce (strana naproti pravému úhlu) - ve známém algebraickém zápisu, ² + b ² = c ². Babyloňané a Egypťané nalezli několik celočíselných trojic (a, b, c), která vztah splňovala. Pythagoras (c. 580 – c. 500 bc) nebo jeden z jeho následovníků mohl být první, kdo prokázal teorém, který nese jeho jméno. Euclid (c. 300 bc) nabídl chytrou demonstraci pythagorovské věty ve svých živelech, známou jako větrný mlýn podle tvaru postavy.

Nakreslete čtverce na stranách pravého ΔABC.
BCH a ACK jsou přímky, protože ∠ACB = 90 °.
∠EAB = ∠CAI = 90 °, podle konstrukce.
∠BAI = ∠BAC + ∠CAI = ∠BAC + ∠EAB = ∠EAC, o 3.
AC = AI a AB = AE, podle konstrukce.
Proto ΔBAI ≅ ΔEAC, větou side-side-side (viz Sidebar: Bridge of Asses), jak je zvýrazněno v části (a) obrázku.
Nakreslete CF rovnoběžně s BD.
Obdélník AGFE = 2 AACE. Tento pozoruhodný výsledek vyplývá ze dvou předběžných vět: a) oblasti všech trojúhelníků na stejné základně, jejichž třetí vrchol leží kdekoli na neurčitě prodloužené linii rovnoběžné se základnou, jsou stejné; a b) plocha trojúhelníku je poloviční než plocha jakéhokoli rovnoběžníku (včetně jakéhokoli obdélníku) se stejnou základnou a výškou.
Čtverec AIHC = 2 ABAI, podle stejné rovnoběžníkové věty jako v kroku 8.
Proto obdélník AGFE = čtverec AIHC, po krocích 6, 8 a 9.
∠DBC = ∠ABJ, jako v krocích 3 a 4.
BC = BJ a BD = AB, konstrukcí jako v kroku 5.
ΔCBD ≅ ΔJBA, jako v kroku 6 a zvýrazněné v části (b) obrázku.
Obdélník BDFG = 2 ACBD, jako v kroku 8.
Čtverec CKJB = 2 AJBA, jako v kroku 9.
Proto obdélník BDFG = čtverec CKJB, jako v kroku 10.
Čtverec ABDE = obdélník AGFE + obdélník BDFG, podle konstrukce.
Čtverec ABDE = čtverec AIHC + čtverec CKJB, podle kroků 10 a 16.

První kniha Euklidovských elementů začíná definicí bodu a končí Pythagorovou větou a jejím obrácením (pokud se součet čtverců na dvou stranách trojúhelníku rovná čtverci na třetí straně, musí to být pravoúhlý trojúhelník). Tato cesta od konkrétní definice k abstraktnímu a univerzálnímu matematickému prohlášení byla vzata jako symbol vývoje civilizovaného života. Pozoruhodným příkladem identifikace Euclidova uvažování s nejvyšším vyjádřením myšlenky byl návrh německého fyzika a astronoma z roku 1821 zahájit rozhovor s obyvateli Marsu tím, že jim ukázal naše nároky na intelektuální zralost. Vše, co jsme potřebovali udělat, aby přitahovali jejich zájem a schválení, bylo tvrdeno, bylo orat a zasadit velká pole ve tvaru diagramu větrného mlýna nebo, jak jiní navrhli, kopat kanály připomínající Pythagorovu větu na Sibiři nebo na Sahaře, naplňte je olejem, zapálte je a čekejte na odpověď. Experiment nebyl vyzkoušen, takže nebylo rozhodnuto, zda obyvatelé Marsu nemají dalekohled, geometrii nebo neexistenci.