Diferenciální rovnice, matematický výkaz obsahující jednu nebo více derivátů - tj. termíny představující rychlosti změny nepřetržitě se měnících veličin. Diferenciální rovnice jsou velmi běžné ve vědě a strojírenství, stejně jako v mnoha dalších oblastech kvantitativního studia, protože to, co lze přímo pozorovat a měřit u systémů podstupujících změny, jsou jejich míry změn. Řešením diferenciální rovnice je obecně rovnice vyjadřující funkční závislost jedné proměnné na jedné nebo více dalších; obvykle obsahuje konstantní termíny, které nejsou přítomny v původní diferenciální rovnici. Jiným způsobem, jak to říci, je, že řešení diferenciální rovnice vytváří funkci, kterou lze použít k predikci chování původního systému, alespoň v určitých omezeních.
analýza: Newtonovy a diferenciální rovnice
aplikace analýzy jsou diferenciální rovnice, které vztahují míry změny různých veličin k jejich současným hodnotám,
Diferenciální rovnice jsou rozděleny do několika širokých kategorií a ty jsou zase dále rozděleny do mnoha podkategorií. Nejdůležitějšími kategoriemi jsou obyčejné diferenciální rovnice a parciální diferenciální rovnice. Pokud funkce zahrnutá v rovnici závisí pouze na jediné proměnné, její deriváty jsou obyčejné deriváty a diferenciální rovnice je klasifikována jako obyčejná diferenciální rovnice. Na druhou stranu, pokud funkce závisí na několika nezávislých proměnných, takže její deriváty jsou parciální deriváty, diferenciální rovnice je klasifikována jako parciální diferenciální rovnice. Následuje příklad běžných diferenciálních rovnic:
V nich y znamená funkci a buď t nebo x je nezávislá proměnná. Symboly k a m se zde používají k označení specifických konstant.
Ať už je typ jakýkoli, říká se, že diferenciální rovnice je n-tého řádu, pokud zahrnuje derivát n-tého řádu, ale žádný derivát řádu vyššího než je tento. Rovnice je příkladem parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Teorie obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic se výrazně liší, a proto se s oběma kategoriemi zachází odděleně.
Místo jediné diferenciální rovnice může být předmětem studia simultánní systém takových rovnic. Formulace dynamických zákonů často vede k těmto systémům. V mnoha případech je jednoduchá diferenciální rovnice n-tého řádu výhodně nahrazena soustavou n simultánních rovnic, z nichž každá je prvního řádu, takže lze použít techniky z lineární algebry.
Obyčejná diferenciální rovnice, ve které jsou například funkce a nezávislá proměnná označeny y a x, je ve skutečnosti implicitní shrnutí základních charakteristik y jako funkce x. Tyto charakteristiky by pravděpodobně byly přístupnější pro analýzu, pokud by bylo možné vytvořit explicitní vzorec pro y. Takový vzorec nebo alespoň rovnice v xay (bez derivátů), kterou lze odvodit z diferenciální rovnice, se nazývá řešení diferenciální rovnice. Proces odvozování řešení z rovnice pomocí algebry a počtu se nazývá řešení nebo integrace rovnice. Je však třeba poznamenat, že diferenciální rovnice, které lze explicitně vyřešit, jsou jen malou menšinou. Proto musí být většina funkcí studována nepřímými metodami. I její existence musí být prokázána, pokud není možné jej předložit ke kontrole. V praxi se k získání užitečných přibližných řešení používají metody z numerické analýzy zahrnující počítače.
