Riemannova zeta funkční matematika

Riemannova zeta funkce, funkce užitečná v teorii čísel pro zkoumání vlastností prvočísel. Psaný jako £ (x), byl původně definován jako nekonečné seriesζ (x) = 1 + 2 ^-x + 3 ^-x + 4 ^-x + ⋯. Když x = 1, tato řada se nazývá harmonická řada, která se zvětšuje bez omezení - tj. Její součet je nekonečný. Pro hodnoty x větší než 1 se řada konvertuje na konečné číslo, jakmile se přidají následné výrazy. Pokud je x menší než 1, je součet opět nekonečný. Zeta funkce byla známa švýcarskému matematikovi Leonhard Euler v 1737, ale to bylo nejprve studováno značně německým matematikem Bernhard Riemann.

V 1859 Riemann publikoval referát dávat explicitní vzorec pro množství prvočísel až do nějakého předem určeného limitu - rozhodnutí zlepšení přes přibližnou hodnotu danou teorémem prvočísla. Nicméně, Riemannova formule závisí na znalosti hodnoty, při které generalizované verzi zeta funkce je nulová. (Funkce Riemann zeta je definována pro všechna komplexní čísla - čísla ve tvaru x + iy, kde i = druhá odmocnina √ 1 - s výjimkou řádku x = 1.) Riemann věděl, že funkce se rovná nule pro všechny negativní sudé celá čísla −2, −4, −6,

(tzv. triviální nuly) a že má nekonečný počet nul v kritickém pruhu složitých čísel mezi řádky x = 0 a x = 1, a také věděl, že všechny netriviální nuly jsou symetrické s ohledem na kritické řádek x = ¹ / ₂. Riemann usoudil, že všechna netriviální nula jsou na kritické linii, dohad, který se následně stal známým jako hypotéza Riemanna.

V roce 1900 německý matematik David Hilbert nazval Riemannovu hypotézu jednou z nejdůležitějších otázek ve všech matematikách, což naznačuje její zahrnutí do jeho vlivného seznamu 23 nevyřešených problémů, s nimiž vyzval matematiky 20. století. V roce 1915 anglický matematik Godfrey Hardy dokázal, že na kritické linii se vyskytuje nekonečné množství nul, a v roce 1986 bylo na kritické linii ukázáno prvních 1 500 000 001 netriviálních nul. Ačkoli se hypotéza může ještě ukázat jako falešná, vyšetřování tohoto obtížného problému obohatilo porozumění komplexních čísel.