Základy matematiky

Teorie kategorií

Abstrakce v matematice

Jednou z posledních tendencí ve vývoji matematiky byl postupný proces abstrakce. Norský matematik Niels Henrik Abel (1802–29) dokázal, že rovnice pátého stupně nemohou být obecně vyřešeny radikály. Francouzský matematik Évariste Galois (1811–32), zčásti motivovaný Abelovou prací, zavedl určité skupiny permutací, aby určil podmínky nezbytné pro to, aby byla polynomiální rovnice řešitelná. Tyto konkrétní skupiny brzy daly vzniknout abstraktním skupinám, které byly popsány axiomaticky. Pak se zjistilo, že ke studiu skupin bylo nutné podívat se na vztah mezi různými skupinami - zejména na homomorfismy, které mapují jednu skupinu do druhé při zachování skupinových operací. Lidé tak začali studovat to, co se nyní nazývá konkrétní kategorií skupin, jejichž objekty jsou skupiny a jejichž šípy jsou homomorfismy. Netrvalo dlouho, než byly konkrétní kategorie nahrazeny abstraktními kategoriemi, které byly opět popsány axiomaticky.

Důležitý pojem kategorie představili Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane na konci druhé světové války. Tyto moderní kategorie je třeba odlišit od kategorií Aristoteles, které jsou v současném kontextu lépe nazývány typy. Kategorie má mezi sebou nejen objekty, ale také šipky (označované také jako morfismy, transformace nebo mapování).

Mnoho kategorií má jako objekty sady vybavené nějakou strukturou a šipkami, které tuto strukturu zachovávají. Existují tedy kategorie sad (s prázdnou strukturou) a mapování, skupin a skupinových homomorfismů, kruhů a kruhových homomorfismů, vektorových prostorů a lineárních transformací, topologických prostorů a spojitých mapování atd. Na ještě abstraktnější úrovni existuje dokonce kategorie (malých) kategorií a funktorů, jak se nazývají morfismy mezi kategoriemi, které zachovávají vztahy mezi objekty a šípy.

Tímto konkrétním způsobem nelze zobrazit všechny kategorie. Například, vzorce deduktivního systému mohou být viděny jako objekty kategorie, jejíž šipky f: A → B jsou dedukce B od A. Ve skutečnosti je toto hledisko důležité v teoretické informatice, kde jsou myšlenky považovány za jako typy a srážky jako operace.

Více formálně, kategorie sestává z (1) skupina objektů A, B, C,… (2) pro každou uspořádanou dvojicí objektů v kolekci přidružený soubor transformací, včetně totožnosti I _A: A → A, a (3), přidruženým právem kompozice pro každý objednal trojnásobný objektů do kategorie tak, že pro f ∶ A → B a g ∶ B → C je složení gf (nebo g ○ f) transformací z A na C - tj. gf ∶ A → C. Kromě toho je třeba dodržovat asociativní zákon a totožnosti (kde prostředky jsou definovány) -ie, h (gF) = (Hg) f a 1 _B, F = f = f1.

V jistém smyslu nemají objekty abstraktní kategorie žádná okna, jako monad Leibniz. Aby bylo možné odvodit vnitřek objektu A, stačí se podívat na všechny šipky z ostatních objektů na A. Například, v kategorii sad mohou být prvky množiny A reprezentovány šipkami z typické jednosložkové sady do A. Podobně, v kategorii malých kategorií, pokud 1 je kategorie s jedním objektem a bez nonidentity šipky, objekty a kategorie a, mohou být identifikovány s funktory 1 → a. Kromě toho, je-li 2 je kategorie se dvěma objekty a jeden nonidentity šipky šipky z A, mohou být identifikovány s funktory 2 → A.

Izomorfní struktury

Šipka f: A → B se nazývá izomorfismus v případě, že je šipka g: B → inverzní k f-to znamená, že taková, že g ○ f = 1 a f ○ g = 1 _B. Toto je psáno A ≅ B a A a B se nazývají izomorfní, což znamená, že mají v podstatě stejnou strukturu a že není třeba mezi nimi rozlišovat. Vzhledem k tomu, že matematické entity jsou objekty kategorií, jsou dány pouze izomorfismu. Jejich tradiční set-teoretické konstrukce, kromě toho, že slouží užitečnému účelu při prokazování konzistence, jsou opravdu irelevantní.

Například v obvyklé konstrukci kruhu celých čísel je celé číslo definováno jako ekvivalenční třída párů (m, n) přirozených čísel, kde (m, n) je ekvivalentní (m ', n'), pokud a pouze pokud m + n '= m' + n. Myšlenka je taková, že na třídu ekvivalence (m, n) je třeba pohlížet jako na m - n. Důležité pro kategoristy je však to, že prsten ℤ celých čísel je počátečním objektem v kategorii prstenů a homomorfismů - to znamená, že pro každý prsten ℝ existuje jedinečný homomorfismus ℤ → ℝ. Z tohoto pohledu je ℤ dáno pouze izomorfismu. Ve stejném duchu by se mělo říci, že ne ℤ je obsaženo v poli ℚ racionálních čísel, ale pouze to, že homomorfismus ℤ → ℚ je jeden na jednoho. Stejně tak nemá smysl mluvit o množině teoretických průsečíků π a druhé odmocniny √-1, pokud jsou obě vyjádřeny jako sady množin sad (ad infinitum).

Zvláštní zájem o nadace a jinde jsou přilehlé funktory (F, G). Jedná se o dvojice funktorů mezi dvěma kategoriemi ? a ℬ, které jdou v opačných směrech tak, že mezi sadou šipek F (A) → B v ℬ a sadou šipek A → G (B) existuje vzájemná korespondence) v ? - to znamená, že množiny jsou izomorfní.