Formální logika

Sémantické tablety

Od 80. let 20. století získala další popularitu jiná technika pro určování platnosti argumentů v PC nebo LPC, a to jak díky snadnému učení, tak díky přímé implementaci pomocí počítačových programů. Původně navrhovaný nizozemským logikem Evertem W. Bethem, byl plně vyvinut a propagován americkým matematikem a logikem Raymondem M. Smullyanem. Tato metoda spočívá v pozorování, že je nemožné, aby byly platné argumenty pravdivé, zatímco závěr je nepravdivý, a tato metoda se pokusí interpretovat (nebo vyhodnotit) prostory takovým způsobem, že jsou všechny současně uspokojeny a negovány. závěr je rovněž uspokojen. Úspěch v takovém úsilí by prokázal, že argument je neplatný, zatímco neschopnost najít takový výklad by ukázal, že je platný.

Konstrukce sémantického tabla probíhá následovně: vyjádřete prostor a negaci závěru argumentu v PC pomocí pouze negace (∼) a disjunkce (∨) jako výrokových spojek. Eliminujte každý výskyt dvou negačních znaků v sekvenci (např. ∼∼∼∼∼a se stává ∼a). Nyní vytvořte stromový diagram rozvětvující se dolů tak, že každý disjunkce je nahrazena dvěma větvemi, jedna pro levou disjunkt a druhá pro pravou. Původní disjunkce je pravdivá, pokud je některá větev pravdivá. Odkaz na De Morganovy zákony ukazuje, že negace disjunkce je pravdivá jen v případě, že negace obou disjunkcí jsou pravdivé [tj. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Toto sémantické pozorování vede k pravidlu, že negace disjunkce se stává jednou větev obsahující negaci každého disjunktu:

Zvažte následující argument:

Napsat:

Nyní vypusťte disjunkci a vytvořte dvě větve:

Pouze pokud jsou všechny věty alespoň v jedné větvi pravdivé, je možné, aby původní prostory byly pravdivé a závěr nepravdivý (rovnocenně pro zamítnutí závěru). Sledováním čáry nahoru v každé větvi až na vrchol stromu, jeden pozoruje, že žádné ocenění a v levé větvi nebude mít za následek, že všechny věty v této větvi obdrží hodnotu true (kvůli přítomnosti a a ∼a). Podobně v pravé větvi přítomnost b a ∼b znemožňuje, aby ocenění vedlo k pravdivosti všech vět větví, které tuto hodnotu obdrží. Toto jsou všechna možná odvětví; tak je nemožné najít situaci, ve které jsou prostory pravdivé a závěr nepravdivý. Původní argument je tedy platný.

Tuto techniku ​​lze rozšířit o další konektivy:

Kromě toho je v LPC třeba zavést pravidla pro instanci kvantifikovaných WUF. Je zřejmé, že jakákoli větev obsahující oba (∀x) ϕx a ∼ϕy je taková, ve které ne všechny věty v této větvi mohou být současně uspokojeny (za předpokladu ω-konzistence; viz metalogické). Opět platí, že pokud všechny větve nebudou schopny vyhovět současně, je původní argument platný.

Speciální systémy LPC

LPC, jak je vysvětleno výše, může být modifikováno buď omezením nebo rozšířením rozsahu wffs různými způsoby:

• 1.Částicové systémy LPC. Zde jsou nastíněny některé z důležitějších systémů vyráběných omezením:

  • a.Je možné požadovat, aby každá predikátová proměnná byla monadická, a přitom stále umožňovala nekonečný počet individuálních a predikátových proměnných. Atomové atomy jsou pak jednoduše ty, které se skládají z predikátové proměnné následované jedinou individuální proměnnou. Jinak zůstanou pravidla formace jako dříve a definice platnosti je také jako dříve, i když zjevně zjednodušená. Tento systém je známý jako monadický LPC; poskytuje logiku vlastností, ale nikoli vztahů. Jednou z důležitých vlastností tohoto systému je, že je rozhodnutelný. (Zavedení i jediné dyadické predikátové proměnné by však učinilo systém nerozhodnutelným a ve skutečnosti by dokonce i systém, který obsahuje pouze jednu dyadickou predikátovou proměnnou a žádné jiné predikátové proměnné vůbec, nebyl ukázán jako nerozhodnutelný.)

  • bA ještě jednodušší systém může být vytvořen vyžadováním (1), aby každá predikátová proměnná byla monadická, (2) aby byla použita pouze jedna jednotlivá proměnná (např. x), (3) aby byl každý výskyt této proměnné vázán a (4) že žádný kvantifikátor nenastane v rámci jiných. Příklady wufů tohoto systému jsou (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („Cokoliv je ϕ je ψ i χ“); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Existuje něco, co je ϕ, ale ne ψ“); a (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Pokud je cokoli ϕ je ψ, pak něco je ϕ i ψ“). Zápis pro tento systém lze zjednodušit vynecháním x všude a psáním ∃ϕ pro „Něco je ϕ“, ∀ (ϕ ⊃ ψ) pro „Cokoliv je ϕ je ψ“ a tak dále. Ačkoliv je tento systém více základní než monadický LPC (jehož je fragmentem), mohou v něm být zastoupeny formy širokého spektra závěrů. Je to také rozhodnutelný systém a mohou být pro něj stanoveny rozhodovací postupy elementárního druhu.

• 2. Rozšíření LPC. Komplikovanější systémy, ve kterých lze vyjádřit širší škálu výroků, byly vytvořeny přidáním nových symbolů různých typů do LPC. Nejjednodušší z těchto dodatků jsou:

  • a.Jeden nebo více jednotlivých konstant (řekněme, a, b,

    ): tyto konstanty jsou interpretovány jako jména konkrétních jednotlivců; formálně se od jednotlivých proměnných liší tím, že se nemohou vyskytnout v kvantifikátorech; např. (∀x) je kvantifikátor, ale (∀a) není.

  • b.Jedna nebo více predikčních konstant (řekněme: A, B,

    ), každý ze specifikovaného stupně, považovaný za označení specifických vlastností nebo vztahů.

Další možný doplněk, který vyžaduje poněkud podrobnější vysvětlení, sestává ze symbolů navržených tak, aby zastupovaly funkce. Pojem funkce může být pro současné účely dostatečně vysvětlen takto. Říká se, že existuje určitá funkce argumentů n (nebo stupně n), když existuje pravidlo, které určuje jedinečný objekt (nazývaný hodnota funkce), kdykoli jsou zadány všechny argumenty. Například v oblasti lidských bytostí je „matka -“ monadická funkce (funkce jednoho argumentu), protože pro každou lidskou bytost existuje jedinečný jedinec, který je jeho matkou; a v oblasti přirozených čísel (tj. 0, 1, 2,

), „Suma - a -“ je funkcí dvou argumentů, protože pro každou dvojici přirozených čísel existuje přirozené číslo, které je jejich součtem. Funkční symbol lze považovat za formování jména z jiných jmen (jeho argumenty); kdykoli tedy x a y pojmenují čísla, „součet xay“ také pojmenuje číslo a podobně pro jiné druhy funkcí a argumentů.

Aby bylo možné funkce vyjádřit v LPC, mohou být přidány:

• c.Jedna nebo více funkčních proměnných (řekněme f, g,

  ) nebo jednu nebo více funkčních konstant (řekněme F, G,

  ) nebo obojí, každý z určitého stupně. První z nich jsou interpretovány jako rozsah přes funkce specifikovaných stupňů a druhý jako označení specifických funkcí tohoto stupně.

Když jsou některá nebo všechna a-c přidána do LPC, je třeba upravit pravidla formování uvedená v prvním odstavci oddílu na dolním predikátovém počtu (viz výše Dolní počet predikátů), aby bylo možné nové symboly začlenit do Wffs. To lze provést následovně: Termín je nejprve definován jako (1) individuální proměnná nebo (2) individuální konstanta nebo (3) jakýkoli výraz vytvořený předponou funkční proměnné nebo funkční konstanty stupně n na libovolné n výrazy (tyto termíny - argumenty funkčního symbolu - jsou obvykle odděleny čárkami a uzavřeny v závorkách). Formační pravidlo 1 se pak nahrazuje tímto:

• 1 '. Výraz tvořený predikátovou proměnnou nebo predikátovou konstantou stupně n následovanou n členy je wff.

Axiomatický základ uvedený v části o axiomatizaci LPC (viz výše Axiomatizace LPC) také vyžaduje následující změnu: v schématu axiomu 2 může být jakýkoli výraz nahrazen, když se vytvoří β, za předpokladu, že žádná proměnná, která je volná v termín se stává vázaným v β. Následující příklady ilustrují použití výše uvedených dodatků k LPC: nechť hodnoty jednotlivých proměnných jsou přirozená čísla; nechť jednotlivé konstanty aab znamenají čísla 2 a 3; Ať znamená „je nejlepší“; a nechť F reprezentuje dyadickou funkci „součet“. Potom AF (a, b) vyjadřuje výrok „Součet 2 a 3 je prvořadý“ a (∃x) AF (x, a) vyjadřuje výrok „Existuje číslo takové, že jeho součet a 2 je prvořadý. “

Zavedení konstant je obvykle doprovázeno přidáním k axiomatickým základům zvláštních axiomů obsahujících tyto konstanty, jejichž účelem je vyjádřit principy, které drží objekty, vlastnosti, vztahy nebo funkce, které jsou nimi reprezentovány - ačkoli neuznávají objekty, vlastnosti, vztahy nebo funkce obecně. Může být například rozhodnuto použít konstantu A k reprezentaci dyadického vztahu „je větší než“ (takže Axy znamená „x je větší než y“ atd.). Tento vztah, na rozdíl od mnoha jiných, je tranzitivní; tj. pokud je jeden objekt větší než druhý a ten druhý je zase větší než třetina, pak je první větší než třetí. Proto může být přidáno následující speciální schéma axiomu: pokud t ₁, t ₂ a t ₃ jsou libovolné termíny, pak (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ At ₁ t ₃ je axiom. Tímto způsobem mohou být systémy konstruovány tak, aby vyjadřovaly logické struktury různých konkrétních disciplín. Oblast, ve které byla vykonána většina práce tohoto druhu, je aritmetika přirozeného čísla.

PC a LPC jsou někdy kombinovány do jednoho systému. To lze provést nejjednodušším způsobem přidáním výrokových proměnných do seznamu primitiv LPC, přidáním pravidla formace v tom smyslu, že samotná výroková proměnná je wff, a odstraněním slova „LPC“ v schématu axiomu 1. jako (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx a (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC s identitou. Slovo „je“ není vždy používáno stejným způsobem. V propozici, jako je (1) „Socrates je snub-nosed“, výraz předcházející „is“ pojmenovává jednotlivce a výraz, který jej následuje, označuje vlastnost přiřazenou tomuto jednotlivci. Ale v tvrzení, jako je (2) „Socrates je aténský filosof, který pil hemlock,“ výrazy předcházející a následující za „je“ oba pojmenovávají jednotlivce a smysl celého tvrzení je, že jedinec jmenovaný prvním je stejný jednotlivec jako jednotlivec pojmenovaný druhým. Tedy ve 2 lze „je“ rozšířit na „je stejný jednotlivec jako“, zatímco v 1 to nemůže. Jak je použito ve 2, „je“ znamená dyadický vztah - jmenovitě identitu -, který se tvrdí, že se tento výrok drží mezi těmito dvěma jedinci. Návrh identity je v této souvislosti třeba chápat tak, že tvrdí pouze toto; zejména není třeba chápat jako tvrzení, že dva výrazy pro pojmenování mají stejný význam. Mnohem diskutovaným příkladem pro ilustraci tohoto posledního bodu je „Ranní hvězda je večerní hvězda.“ Je nepravdivé, že výrazy „ranní hvězda“ a „večerní hvězda“ znamenají totéž, ale je pravdou, že předmět, na který se první odkazuje, je stejný jako ten, na který se vztahuje (planeta Venuše).

Aby bylo možné vyjádřit formy návrhů identity, přidá se k LPC dyadická predikátová konstanta, pro kterou je nejběžnější zápis = (zapsán mezi jeho argumenty, spíše než dříve). Předpokládaná interpretace x = y je taková, že x je stejná osoba jako y a nejpohodlnější čtení je „x je totožné s y“. Jeho negace ∼ (x = y) je obvykle zkrácena na x ≠ y. K definici dříve uvedeného LPC modelu (viz výše Platnost v LPC) se nyní přidává pravidlo (které zjevně odpovídá zamýšlenému výkladu), že hodnota x = y má být 1, pokud stejný člen D je přiřazeno oběma xay a že jinak má být jeho hodnota 0; platnost lze poté definovat jako dříve. K axiomatickému základu LPC se přidávají následující přídavky (nebo některé ekvivalentní): axiom x = x a schéma axiomu, které, kde a a b jsou jednotlivé proměnné a α a β, se liší pouze v tom, jedno nebo více míst, kde a má volný výskyt a, β má volný výskyt b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) je axiom. Takový systém je znám jako nižší počet predikátů s identitou; může to být samozřejmě dále rozšířeno jinými způsoby uvedenými výše v části „Rozšíření LPC“, přičemž v tomto případě může být jakýkoli výraz argumentem =.

Identita je ekvivalenční vztah; tj. je reflexní, symetrický a tranzitivní. Jeho reflexivita je přímo vyjádřena v axiomu x = x a věty vyjadřující jeho symetrii a transitivitu lze snadno odvodit z daného základu.

Některé wufy LPC s identitou vyjadřují výroky o počtu věcí, které mají danou vlastnost. „Alespoň jedna věc je ϕ“ může být samozřejmě již vyjádřena (∃x) ϕx; „Alespoň dvě odlišné (neidentické) věci jsou ϕ“ lze nyní vyjádřit pomocí (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); a posloupnost může pokračovat zřejmým způsobem. „Nejvíc jedna věc je ϕ“ (tj. „Žádné dvě odlišné věci nejsou ϕ“) lze vyjádřit negací posledně zmíněného wff nebo jeho ekvivalentem (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] a sekvence lze znovu snadno pokračovat. Vzorec pro „Přesně jedna věc je ϕ“ lze získat spojením vzorců „Nejméně jedna věc je ϕ“ a „Nejvíce jedna věc je ϕ“, ale jednodušší ekvivalent Wff k této konjunkci je (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], což znamená „existuje něco, co je ϕ, a cokoli, co je ϕ, je ta věc.“ Výrok „Přesně dvě věci jsou ϕ“ může být reprezentován (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; tj. „Existují dvě neidentické věci, z nichž každá je ϕ, a cokoli, co je ϕ, je jedna nebo druhá z nich.“ Je zřejmé, že tato posloupnost může být také rozšířena, aby poskytla vzorec pro „Přesně n věci jsou ϕ“ pro každé přirozené číslo n. Je vhodné zkrátit wff pro „Přesně jedna věc je ϕ“ až (∃! X) ϕx. Tento speciální kvantifikátor je často čten nahlas jako „E-Shriek x“.

Definitivní popisy

Pokud určitá vlastnost ϕ patří k jednomu a pouze jednomu objektu, je vhodné mít výraz, který daný objekt pojmenovává. Obyčejný zápis pro tento účel je (ιx) ϕx, který může být čten jako „věc, která je ϕ“ nebo stručněji jako „the ϕ“. Obecně platí, že kde a je jakákoli jednotlivá proměnná a a je jakákoli wff, (ιa) α pak znamená jedinou hodnotu a, která činí α pravdivou. Výraz formy „tak a tak“ se nazývá definitivní popis; a (ιx), známý jako operátor popisu, lze považovat za utvoření jména jednotlivce z výrokového formuláře. (ιx) je obdobou kvantifikátoru v tom, že když je předponou wff α, váže každý volný výskyt x v α. Přípustné je také opakování vázaných proměnných; v nejjednodušším případě lze (ιx) ϕx a (ιy) ϕy každý číst jednoduše jako „ϕ“.

Pokud jde o pravidla formace, definitivní popisy mohou být začleněny do LPC tím, že necháme výrazy formy (ιa) α počítat jako termíny; pravidlo 1 'výše, v části „Rozšíření LPC“, jim poté umožní výskyt v atomových vzorcích (včetně vzorců identity). „Φ je (tj. Má vlastnost) ψ“, pak lze vyjádřit jako ψ (ιx) ϕx; „Y je (stejný jednotlivec jako) ϕ“ jako y = (ιx) ϕx; „Φ je (stejný jednotlivec jako) ψ“ jako (ιx) ϕx = (ιy) ψy; a tak dále.

Správná analýza propozic obsahujících určité popisy byla předmětem značné filosofické diskuse. Jeden široce přijímaný účet - v zásadě ten, který je uveden v Principia Mathematica a známý jako Russelllova teorie popisů - však tvrdí, že „ϕ je ψ“ je třeba chápat tak, že znamená, že přesně jedna věc je ϕ a ta věc je také ψ. V tom případě to může být vyjádřeno wff LPC s identitou, který neobsahuje žádné popisné operátory - jmenovitě (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogicky „y je ϕ“ je analyzováno jako „y je ϕ a nic jiného není ϕ“, a proto je vyjádřeno (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). „Φ je ψ“ je analyzováno jako „přesně jedna věc je ϕ, přesně jedna věc je ψ, a cokoli je ϕ je ψ“, a proto je vyjádřeno (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx a (ιx) ϕx = (ιy) ψy lze poté považovat za zkratky pro (1), (2) a (3); a zobecněním na složitější případy lze všechny wugy, které obsahují operátory popisu, považovat za zkratky pro delší wugy, které tak nečiní.

Analýza, která vede k (1) jako vzorec pro „The ϕ je ψ“, vede k následujícímu pro „The ϕ není ψ“: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Je důležité poznamenat, že (4) není negací (1); tato negace je místo toho (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Rozdíl ve významu mezi (4) a (5) spočívá ve skutečnosti, že (4) je pravda pouze tehdy, když existuje přesně jedna věc, která je ϕ a ta věc není ψ, ale (5) v tomto případě platí také když nic není ϕ vůbec a když je více než jedna věc ϕ. Opomenutí rozdílu mezi (4) a (5) může mít za následek vážné zmatení myšlení; v obyčejné řeči je často nejasné, zda někdo, kdo popírá, že ϕ je ψ, připouští, že přesně jedna věc je ϕ, ale popírá, že je ψ, nebo popírá, že přesně jedna věc je ϕ.

Základní tvrzení Russellovy teorie popisů spočívá v tom, že návrh obsahující určitý popis se nepovažuje za tvrzení o předmětu, jehož popisem je jméno, ale spíše za existenciálně kvantifikované tvrzení, že určitá (poněkud složitá) vlastnost má instance. Formálně se to odráží v pravidlech pro odstranění operátorů popisu, které byly popsány výše.