Matematika kontinua hypotéza

Hypotéza kontinua, tvrzení teorie množin, že množina reálných čísel (kontinuum) je v tak malém smyslu, jak jen může být. V roce 1873 německý matematik Georg Cantor dokázal, že kontinuum je nespočetné - to znamená, že reálná čísla jsou větší nekonečno než počítací čísla - klíčový výsledek v teorii počátečních množin jako matematického subjektu. Cantor dále vyvinul způsob klasifikace velikosti nekonečných sad podle počtu prvků nebo jejich mohutnosti. (Vidět teorii množin: Kardinál a transfinitní čísla.) V těchto termínech lze hypotézu kontinua stanovit takto: Kardinalita kontinua je nejmenším nespočetným kardinálním číslem.

teorie množin: Čísla kardinality a transfinity

hypotéza známá jako hypotéza kontinua.

V Cantorově notaci lze hypotézu kontinua stanovit jednoduchou rovnicí 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, kde ℵ ₀ je kardinální číslo nekonečné spočítatelné množiny (jako je sada přirozených čísel) a kardinální čísla větších „ dobře objednatelné sady “jsou ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, indexované pořadovými čísly. Kardinálnost kontinua může být rovna 2 ^{ℵ ₀}; tak hypotéza kontinua vylučuje existenci množiny střední velikosti mezi přirozenými čísly a kontinuem.

Silnější tvrzení je zobecněná hypotéza kontinua (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} pro každé pořadové číslo α. Polský matematik Wacław Sierpiński dokázal, že s GCH lze odvodit axiom volby.

Stejně jako u axiomu výběru i v roce 1939 rakouský americký matematik Kurt Gödel dokázal, že pokud ostatní standardní axiomy Zermelo-Fraenkel (ZF; viz

tabulka) jsou konzistentní, pak vyvracejí hypotézu kontinua ani GCH. To znamená, že výsledek přidání GCH do ostatních axiomů zůstává konzistentní. Poté v roce 1963 americký matematik Paul Cohen obraz doplnil tím, že znovu za předpokladu, že ZF je konzistentní, že ZF neposkytuje důkaz hypotézy kontinua.

Protože ZF neprokazuje ani nevyvrací hypotézu kontinua, zůstává otázkou, zda přijmout hypotézu kontinua založenou na neformálním pojetí toho, co jsou sady. Obecná odpověď v matematické komunitě byla záporná: hypotéza kontinua je omezujícím tvrzením v kontextu, kde není znám žádný důvod pro stanovení limitu. V teorii množin přiřazuje operace nastavení výkonu každé sadě mohutnosti ℵ _α její množinu všech podmnožin, která má mohutnost 2 ^{ℵ _α}. Zdá se, že neexistuje žádný důvod k tomu, aby bylo možné omezit rozmanitost podmnožin, které může mít nekonečná množina.