Euklidovská geometrie
Pokud vezmeme v úvahu euklidovskou geometrii, jasně zjistíme, že odkazuje na zákony upravující polohy tuhých těles. Obrací se k účtu geniální myšlenky zpětného sledování všech vztahů týkajících se těl a jejich relativních pozic k velmi jednoduchému pojmu „vzdálenost“ (Strecke). Vzdálenost označuje tuhé těleso, na kterém byly určeny dva materiálové body (značky). Koncept rovnosti vzdáleností (a úhlů) odkazuje na experimenty zahrnující náhody; stejné poznámky platí pro věty o shodě. Euklidovská geometrie nyní ve formě, ve které nám byla předána od Euklidu, používá základní pojmy „přímka“ a „rovina“, u nichž se nezdá, že by odpovídaly nebo v žádném případě, ne tak přímo, se zkušenostmi o poloze tuhých těles. K tomu je třeba poznamenat, že koncept přímky může být snížen na koncept vzdálenosti.1 Kromě toho se geometrici méně zajímali o to, jak odhalit vztah svých základních pojmů ke zkušenosti, než logicky odvodit geometrické výroky z několika axiomů, které byly na začátku uvedeny.
Podívejme se stručně, jak je možné, že základ euklidovské geometrie lze získat z pojmu vzdálenosti.
Vycházíme z rovnosti vzdáleností (axiom rovnosti vzdáleností). Předpokládejme, že ze dvou nerovných vzdáleností je jedna vždy větší než druhá. Stejné axiomy platí pro nerovnost vzdáleností jako pro nerovnost čísel.
Tři vzdálenosti AB 1, BC 1, CA 1 mohou, pokud je CA 1 vhodně vybrána, mít své značky BB 1, CC 1, AA 1 na sebe navrstveny tak, že vznikne trojúhelník ABC. Vzdálenost CA 1 má horní hranici, pro kterou je tato konstrukce stále možná. Body A, (BB ') a C pak leží v „přímce“ (definice). To vede k konceptům: vytvoření vzdálenosti o částku rovnou sobě; rozdělení vzdálenosti na stejné části; vyjádření vzdálenosti z hlediska čísla pomocí měřicí tyče (definice mezerového intervalu mezi dvěma body).
Když byl tímto způsobem získán koncept intervalu mezi dvěma body nebo délka vzdálenosti, vyžaduje se pouze následující axiom (Pythagorova věta), abychom analyticky dospěli k euklidovské geometrii.
Ke každému bodu prostoru (referenčnímu tělesu) mohou být přiřazena tři čísla (souřadnice) x, y, z - a naopak - takovým způsobem, že pro každou dvojici bodů A (x 1, y 1, z 1) a B (x 2, y 2, z 2) věta platí:
číslo opatření AB = odmocnina {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Všechny další koncepce a návrhy euklidovské geometrie mohou být na tomto základě vytvořeny čistě logicky, zejména také návrhy týkající se přímky a roviny.
Účelem těchto poznámek samozřejmě není nahradit striktně axiomatickou konstrukci euklidovské geometrie. Chceme pouze naznačit věrohodně, jak lze všechny pojmy geometrie vysledovat zpět k pojetí vzdálenosti. Stejně dobře bychom mohli ztělesnit celý základ euklidovské geometrie v poslední větě výše. Vztah k základům zkušenosti by pak byl poskytnut pomocí doplňkové věty.
Souřadnice může a musí být vybrána tak, aby dva páry bodů oddělené stejnými intervaly, vypočtené pomocí Pythagorovy věty, mohly být vytvořeny tak, aby se shodovaly s jednou a stejnou vhodně zvolenou vzdáleností (na tělese).
Koncepty a tvary euklidovské geometrie mohou být odvozeny z Pythagorovy tvrzení, aniž by byly zavedeny tuhá těla; ale tyto koncepty a návrhy by pak neobsahovaly obsah, který by mohl být testován. Nejedná se o „pravdivé“ výroky, ale pouze o logicky korektní výroky čistě formálního obsahu.
